Законы теплового излучения

Спектры излучения реальных тел зависят от многих факторов (материал тела, температура, состояние поверхности), и поэтому их аналитическое описание невозможно. У идеального абсолютно черного тела (АЧТ) распределение энергии по спектру и в зависимости от температуры тела является универсальным, поэтому законы излучения абсолютно черного тела используют в качестве базовых при расчете излучения реальных тел. АЧТ в природе не существует. В качестве модели АЧТ используют отверстие в стенке непрозрачной полости с размерами много меньше самой полости (рис.1). При равномерном нагреве всей поверхности полости данное отверстие по своим свойствам приближается к абсолютно черному телу, т.е. поглощает все падающее на него излучение и само при этом является идеальным излучателем – излучает максимально возможное количество энергии.

Рис.1. Модель абсолютно черного тела

Следует отметить, что некоторые приведенные ниже характеристики, такие как интенсивность (то же что и плотность) теплового излучения, степень черноты могут быть как интегральными (для всего спектра излучения), так и спектральными (для бесконечно малого диапазона длин волн \(\color{#dc5010}{\Delta\lambda}\)). Интегральные характеристики описывают весь спектр излучения тела по всем присущим ему длинам волн и фактически являются суммой (интегралом) всех спектральных характеристик, описывающих отдельные диапазоны длин волн. У всех спектральных характеристик указывается индекс «\(\color{#dc5010}{\lambda}\)».

ЗАКОН ПЛАНКА

Закон описывает спектральное распределение энергии электромагнитного излучения, находящегося в тепловом равновесии с веществом при заданной температуре. Он устанавливает зависимость спектральной интенсивности излучения абсолютно черного тела \( \color{#dc5010}{E_{0\lambda}} \) от длины волны \(\color{#dc5010}{\lambda}\) и абсолютной температуры \(\color{#dc5010}{Т}\).

\[ \color{#dc5010}{E_{0\lambda} = \frac{C_1}{\lambda^5 \left(e^{\frac{C_2}{\lambda T}} — 1\right)}} \tag{1} \label{eq:planck} \]

где:

• \(\color{#dc5010}{E_{0\lambda}}\) — спектральная плотность потока излучения абсолютно чёрного тела, Вт/м²
• \(\color{#dc5010}{\lambda}\) — длина волны, м
• \(\color{#dc5010}{Т}\) — абсолютная температура, К
• \(\color{#dc5010}{C_1}\) — первая постоянная излучения (\(C_1 = 2\pi h c^2 \approx 3.7418 \times 10^{-16}\, \text{Вт} \cdot \text{м}^2\))
• \(\color{#dc5010}{C_2}\) — второй постоянная излучения (\(C_2 = \frac{hc}{k} \approx 1.4388 \times 10^{-2}\, \text{м} \cdot \text{К}\))
• \(\color{#dc5010}{h}\) — постоянная Планка (\(6.626 \times 10^{-34}\, \text{Дж} \cdot \text{с}\))
• \(\color{#dc5010}{c}\) — скорость света (\(2.998 \times 10^{8}\, \text{м/с}\))
• \(\color{#dc5010}{k}\) — постоянная Больцмана (\(1.381 \times 10^{-23}\, \text{Дж/К}\))

Спектральная плотность потока излучения — это интенсивность излучения, приходящаяся на единицу частотного интервала. Другими словами, это функция, показывающая распределение энергии по спектру излучения.

Рис.2. Спектральная плотность потока излучения абсолютно черного тела. График зависимости \( \color{#dc5010}{E_{0\lambda} = f(\lambda, T)} \)

Анализ этого графика позволяет сделать следующие выводы:

1. С увеличением температуры спектральная интенсивность излучения \( \color{#dc5010}{E_{0\lambda}} \) возрастает для всего спектра;
2. Зависимость \( \color{#dc5010}{E_{0\lambda} = f(\lambda, T)} \) имеет экстремальный характер;
3. С увеличением температуры длина волны, при которой наблюдается максимум спектральной плотности потока излучения \(\color{#dc5010}{\lambda_{max}}\) абсолютно черного тела, уменьшается.

Закон Планка позволяет рассчитать собственное излучение тел при разных температурах и на разных длинах волн.

ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ ВИНА

Закон смещения Вина определяет положение максимумов спектральной плотности потоков излучения. Его можно сформулировать следующим образом: длина волны, при которой наблюдается максимальное значение спектральной плотности потока собственного излучения \(\color{#dc5010}{\lambda_{max}}\) и абсолютная температура связаны обратно пропорциональной зависимостью:

\[ \color{#dc5010}{\lambda_{\text{max}} \cdot T = 2897,82\, (\text{мкм} \cdot \text{К}) \approx 2,\!898 \cdot 10^{-3}\, (\text{м} \cdot \text{К})} \tag{2} \]

Закон смещения Вина является следствием закона Планка.

Если известна \(\color{#dc5010}{\lambda_{max}}\), то по формуле рассчитывают абсолютную температуру излучателя, а если известна температура излучателя, то по той же формуле находят \(\color{#dc5010}{\lambda_{max}}\).

ЗАКОН СТЕФАНА-БОЛЬЦМАНА

Этот закон устанавливает зависимость плотности потока излучения абсолютно черного тела от температуры:

\[ \color{#dc5010}{E_{0} = \sigma T^4} \tag{3} \]

где:

• \( \color{#dc5010}{E_{0}} \) — плотность потока собственного излучения абсолютно черного тела, Вт/м²
• \( \color{#dc5010}{\sigma} \) — постоянная Стефана-Больцмана, \( \sigma \approx 5,\!67 \cdot 10^{-8}\, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} \)
• \( \color{#dc5010}{T} \) — абсолютная температура тела, К

Зачастую удобнее пользоваться данной формулой в следующей форме записи:

\[ \color{#dc5010}{E_0 = c_0 \cdot \left(\frac{T}{100}\right)^4\, \left[\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}\right]} \]

где:

• \(\color{#dc5010}{E_0}\) — плотность потока собственного излучения абсолютно черного тела, Вт/м²
• \(\color{#dc5010}{c_0}\) — коэффициент излучения абсолютно черного тела, \(c_0 = 5,\!67\, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}\)
• \(\color{#dc5010}{T}\) — абсолютная температура тела, К

ИЗЛУЧЕНИЕ РЕАЛЬНЫХ ТЕЛ

Чтобы законы излучения черного тела можно было применить к реальным телам, вводится понятие СЕРОГО ТЕЛА и СЕРОГО ИЗЛУЧЕНИЯ. При этом используется положение о том, что у серых тел так же, как и у черных, собственное излучение пропорционально абсолютной температуре в четвертой степени, но энергия излучения меньше, чем энергия излучения абсолютно черных тел при той же температуре.

Излучение реальных тел отличается от излучения абсолютно черного тела как по спектральному составу – виду функции \(\color{#dc5010}{E_{\lambda} = f(\lambda, T)}\), так и по величине.

При равных температурах реальные тела излучают тепловой энергии меньше, чем АЧТ. И при этом максимум спектральной плотности потока излучения у металлов смещен в сторону коротковолновой части спектра, а у диэлектриков– в сторону длинноволновой части спектра относительно максимума спектральной плотности потока излучения АЧТ при заданной температуре.

Рис.3. Спектральное распределение энергии излучения (а) и степени черноты (б) различных тел: 1 – АЧТ; 2 – металл; 3 – диэлектрик; 4 – серое тело

Для характеристики излучения реальных тел введено понятие спектральной степени черноты \(\color{#dc5010}{\varepsilon_{\lambda}}\), которая характеризует отношение спектральной плотности потока собственного излучения реального тела \(\color{#dc5010}{E_{\lambda}}\) к спектральной плотности потока собственного излучения абсолютно черного тела \(\color{#dc5010}{E_{0,\lambda}}\):

\[ \color{#dc5010}{\varepsilon_{\lambda} = \frac{E_{\lambda}}{E_{0,\lambda}}} \]

Следовательно:

\[ \color{#dc5010}{E_{\lambda} = \varepsilon_{\lambda} \cdot E_{0,\lambda}} \]

Спектральная степень черноты \(\color{#dc5010}{\varepsilon_{\lambda}}\) изменяется в пределах от 0 до 1 и для каждой длины волны \(\color{#dc5010}{\lambda}\) характеризует долю, которую \(\color{#dc5010}{E_{\lambda}}\) данного тела составляет от \(\color{#dc5010}{E_{0,\lambda}}\) абсолютно черного тела при одной и той же температуре. Изменение спектральной степени черноты различных тел показано на рис 3. Из анализа формулы закона Стефана-Больцмана следует, что спектральная степень черноты абсолютно черного тела равна единице. Спектральная степень черноты реального тела зависит от длины волны, природы тела, состояния его поверхности и температуры.

Для серых тел формула закона Стефана-Больцмана имеет следующий вид:

\[ \color{#dc5010}{E = \varepsilon \cdot \sigma \cdot T^4} \]

где \(\color{#dc5010}{\varepsilon = \frac{E}{E_0}}\) – интегральная степень черноты излучающего тела, то есть отношение плотности потока излучения данного тела к плотности потока излучения абсолютно черного тела.

Значения степени черноты некоторых материалов.

Материал	Состояние поверхности	Температура, ℃	Степень черноты, ε
Алюминий	полированная	225-575	0,04-0,06
	окисленная	200-600	0,11-0,19
Железо	полированное	400-1000	0,14-0,38
Железо литое	необработанная	900-1100	0,87-0,95
Сталь литье	полированная	100	0,066
	прокат	90	0,07-0,085
Хром	глянцевая	125	0,64-0,67
Латунь	тусклая	50-350	0,22
	полированная	100	0,075
	прокат	22	0,06
Эмаль	Полуматовая (для всех цветов)	100	0,92-0,96
Краска	глянцевая (для всех цветов)	20-100	0,92-0,96
Лак	черная матовая	43-100	0,92-0,96
	Черная глянцевая	25	0,875
	Белая полуматовая	23	0,906

ЗАКОН КИРХГОФА

Закон Кирхгофа устанавливает связь между энергиями излучения и поглощения поверхностями серых и абсолютно черных тел. Он формулируется следующим образом: отношение плотности потока собственного излучения (лучеиспускательной способности) серого тела к его поглощательной способности есть величина постоянная и равна плотности потока собственного излучения абсолютно черного тела при условии равенства температур обоих тел:

\[ \color{#dc5010}{\frac{E_1}{A_1} = \frac{E_2}{A_2} = \cdots = E_0 = c_0 \cdot \left(\frac{T}{100}\right)^4} \]

где:

• \(\color{#dc5010}{E}\) — плотность потока собственного излучения (лучеиспускательная способность) серого тела, Вт/м²
• \(\color{#dc5010}{A}\) — поглощательная способность серого тела
• \(\color{#dc5010}{E_0}\) — плотность потока излучения абсолютно черного тела, Вт/м²
• \(\color{#dc5010}{c_0}\) — коэффициент излучения абсолютно черного тела, \(c_0 = 5,\!67\, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}\)
• \(\color{#dc5010}{T}\) — абсолютная температура, К

Из закона Кирхгофа следует, что плотность собственного радиационного потока равна:

\[ \color{#dc5010}{E = A \cdot E_0} \]

Также из закона Кирхгофа следует, что, если тело обладает малым коэффициентом поглощения, оно обладает и малой излучательной способностью. Например, черное тело обладает максимальным коэффициентом поглощения, одновременно оно обладает максимальной излучательной способностью (\(\color{#dc5010}{\varepsilon \cdot E_0 = A \cdot E_0}\)), отсюда следует, что у одного и того же тела при заданной температуре коэффициент поглощения равен степени черноты, которая иногда называется коэффициентом теплового излучения:

\[ \color{#dc5010}{\varepsilon = A} \]

Следует заметить, что Закон Кирхгофа справедлив применительно как к интегральным величинам (для всего спектра излучения), так и спектральным (для бесконечно малого диапазона длин волн \(\color{#dc5010}{\Delta\lambda}\)).

ЗАКОН ЛАМБЕРТА

Закон Ламберта устанавливает связь между потоком излучения и его направлением. Согласно этому закону поток излучения абсолютно черного тела в данном направлении пропорционален потоку излучения в направлении нормали к поверхности излучения и косинусу угла между ними:

\[ \color{#dc5010}{I_{\varphi} = I_n \cdot \cos\varphi} \]

где:

• \(\color{#dc5010}{I_{\varphi}}\) — угловая плотность потока излучения в данном направлении
• \(\color{#dc5010}{I_n}\) — угловая плотность потока излучения по нормали к поверхности излучения
• \(\color{#dc5010}{\varphi}\) — угол между направлением излучения и нормалью к поверхности